Familles d’équations de Thue–Mahler n’ayant que des solutions triviales

Let K be a number field, let S be a finite set of places of K containing the archimedean places and let μ, α1, α2, α3 be non–zero elements in K. Denote by OS the ring of S–integers in K and by O × S the group of S–units. Then the set of equivalence classes (namely, up to multiplication by S–units) of the solutions (x, y, z, ε1, ε2, ε3, ε) ∈ O S × (O× S ) 4 of the diophantine equation (X − α1E1Y )(X − α2E2Y )(X − α3E3Y )Z = μE, satisfying Card{α1ε1, α2ε2, α3ε3} = 3, is finite. With the help of this last result, we exhibit, for every integer n > 2, new families of Thue-Mahler equations of degreee n having only trivial solutions. Furthermore, we produce an effective upper bound for the number of these solutions. The proofs of this paper rest heavily on Schmidt’s subspace theorem. Résumé Soit K un corps de nombres, soit S un ensemble fini de places de K contenant les places archimédiennes et soient μ, α1, α2, α3 des éléments non nuls de K. Notons OS l’anneau des S– entiers de K et O× S le groupe des S–unités. Alors l’ensemble des classes d’équivalence (c’est-à-dire, à multiplication près par des S–unités) des solutions (x, y, z, ε1, ε2, ε3, ε) ∈ O S × (O× S ) 4 de l’équation diophantienne (X − α1E1Y )(X − α2E2Y )(X − α3E3Y )Z = μE, vérifiant Card{α1ε1, α2ε2, α3ε3} = 3, est fini. Grâce à ce dernier résultat, nous pouvons exhiber pour chaque entier n ≥ 3 de nouvelles familles d’équations de Thue-Mahler de degré n ne possédant que des solutions triviales. De plus, nous donnons une borne supérieure explicite pour le nombre de ces solutions. Les démonstrations de cet article reposent sur le théorème du sous–espace de Schmidt. 2010 Mathematics Subject Classification: Primary 11D59 ; Secondary 11D45 11D61 11D25 11J87